📈 Thống kê Mô tả - Độ đo Tập trung

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, bạn sẽ:

• Hiểu và tính toán Mean, Median, Mode
• Biết khi nào sử dụng độ đo nào
• Phân biệt Population vs Sample Statistics

Tổng quan

1. Các loại dữ liệu

1.1 Phân loại dữ liệu

2. Mean (Trung bình cộng)

2.1 Công thức

Population Mean (Trung bình tổng thể):

$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_N}{N}$

Sample Mean (Trung bình mẫu):

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

2.2 Ví dụ tính tay

Dữ liệu: Điểm thi của 8 học sinh: [7, 8, 6, 9, 7, 8, 10, 5]

$\bar{x} = \frac{7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8 + 10 + 5}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$

2.3 Weighted Mean (Trung bình có trọng số)

$\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$

Ví dụ: Tính điểm trung bình học phần

$\bar{x}_w = \frac{32 + 21 + 18}{4 + 3 + 2} = \frac{71}{9} = 7.89$

2.4 Code Python

1import numpy as np
2
3# Dữ liệu
4scores = [7, 8, 6, 9, 7, 8, 10, 5]
5
6# Mean đơn giản
7mean_score = np.mean(scores)
8print(f"Mean: {mean_score}")  # 7.5
9
10# Weighted Mean
11grades = [8, 7, 9]
12credits = [4, 3, 2]
13weighted_mean = np.average(grades, weights=credits)
14print(f"Weighted Mean: {weighted_mean:.2f}")  # 7.89

3. Median (Trung vị)

3.1 Định nghĩa

Median là giá trị ở vị trí giữa khi sắp xếp dữ liệu theo thứ tự.

Cách tính:

• Nếu n lẻ: Median = giá trị ở vị trí $\frac{n+1}{2}$
• Nếu n chẵn: Median = trung bình của 2 giá trị giữa

3.2 Ví dụ tính tay

Ví dụ 1: n lẻ

Dữ liệu: [3, 7, 2, 9, 4]

Sắp xếp: [2, 3, 4, 7, 9]

Vị trí giữa: $\frac{5+1}{2} = 3$ → Median = 4

Ví dụ 2: n chẵn

Dữ liệu: [3, 7, 2, 9, 4, 6]

Sắp xếp: [2, 3, 4, 6, 7, 9]

Hai giá trị giữa: 4 và 6 → Median = $\frac{4+6}{2}$ = 5

3.3 Code Python

1import numpy as np
2
3# n lẻ
4data_odd = [3, 7, 2, 9, 4]
5print(f"Median (n lẻ): {np.median(data_odd)}")  # 4.0
6
7# n chẵn
8data_even = [3, 7, 2, 9, 4, 6]
9print(f"Median (n chẵn): {np.median(data_even)}")  # 5.0

4. Mode (Yếu vị)

4.1 Định nghĩa

Mode là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong tập dữ liệu.

• Unimodal: 1 mode
• Bimodal: 2 modes
• Multimodal: nhiều modes
• No mode: tất cả xuất hiện bằng nhau

4.2 Ví dụ

4.3 Code Python

1from scipy import stats
2import numpy as np
3
4# Unimodal
5data = [1, 2, 2, 3, 4]
6mode_result = stats.mode(data, keepdims=True)
7print(f"Mode: {mode_result.mode[0]}")  # 2
8print(f"Count: {mode_result.count[0]}")  # 2
9
10# Sử dụng pandas cho multiple modes
11import pandas as pd
12data_bimodal = pd.Series([1, 1, 2, 2, 3])
13print(f"Modes: {data_bimodal.mode().tolist()}")  # [1, 2]

5. So sánh Mean, Median, Mode

5.1 Ảnh hưởng của Outliers

Ví dụ: Thu nhập (triệu/tháng): [10, 12, 11, 13, 100]

5.2 Khi nào dùng độ đo nào?

5.3 Skewness và vị trí các độ đo

5.4 Code minh họa

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy import stats
4
5# Tạo dữ liệu với outlier
6data_normal = [10, 12, 11, 13, 14, 12, 11, 13]
7data_with_outlier = [10, 12, 11, 13, 14, 12, 11, 100]
8
9# So sánh
10print("=== Data without outlier ===")
11print(f"Mean: {np.mean(data_normal):.2f}")
12print(f"Median: {np.median(data_normal):.2f}")
13
14print("\n=== Data with outlier ===")
15print(f"Mean: {np.mean(data_with_outlier):.2f}")
16print(f"Median: {np.median(data_with_outlier):.2f}")
17
18# Visualization
19fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
20
21# Normal data
22axes[0].hist(data_normal, bins=10, edgecolor='black', alpha=0.7)
23axes[0].axvline(np.mean(data_normal), color='red', linestyle='--', label=f'Mean: {np.mean(data_normal):.1f}')
24axes[0].axvline(np.median(data_normal), color='green', linestyle='--', label=f'Median: {np.median(data_normal):.1f}')
25axes[0].set_title('Without Outlier')
26axes[0].legend()
27
28# Data with outlier
29axes[1].hist(data_with_outlier, bins=10, edgecolor='black', alpha=0.7)
30axes[1].axvline(np.mean(data_with_outlier), color='red', linestyle='--', label=f'Mean: {np.mean(data_with_outlier):.1f}')
31axes[1].axvline(np.median(data_with_outlier), color='green', linestyle='--', label=f'Median: {np.median(data_with_outlier):.1f}')
32axes[1].set_title('With Outlier')
33axes[1].legend()
34
35plt.tight_layout()
36plt.show()

6. Bài tập thực hành

Bài tập 1: Tính các độ đo

Cho dữ liệu điểm kiểm tra: [85, 90, 78, 92, 88, 85, 95, 85, 80, 75]

1. Tính Mean
2. Tính Median
3. Tìm Mode

Bài tập 2: Weighted Mean

Tính điểm trung bình học kỳ với:

• Toán: 8.5 (4 tín chỉ)
• Văn: 7.0 (3 tín chỉ)
• Anh: 9.0 (3 tín chỉ)
• Thể dục: 8.0 (2 tín chỉ)

Bài tập 3: Phân tích outlier

Cho dữ liệu lương nhân viên (triệu/tháng): [15, 18, 16, 17, 19, 150]

1. Tính Mean và Median
2. Độ đo nào phản ánh thực tế hơn?
3. Giải thích tại sao

Tóm tắt