🎲 Xác suất cơ bản (Probability Basics)

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, bạn sẽ:

• Hiểu các khái niệm cơ bản về xác suất
• Nắm vững các quy tắc tính xác suất
• Phân biệt các loại biến cố
• Áp dụng vào bài toán thực tế

Tổng quan các quy tắc xác suất

1. Các khái niệm cơ bản

1.1 Thuật ngữ

1.2 Ví dụ Sample Space

2. Định nghĩa Xác suất

2.1 Classical Probability

$P(A) = \frac{\text{Số outcomes thuận lợi}}{\text{Tổng số outcomes}} = \frac{n(A)}{n(S)}$

Điều kiện: Các outcomes có khả năng xảy ra như nhau (equally likely).

2.2 Ví dụ

Tung 1 xúc xắc cân đối:

• P(số 3) = $\frac{1}{6}$
• P(số chẵn) = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• P(số > 4) = $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Rút 1 lá từ bộ 52 lá:

• P(Át) = $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
• P(Cơ) = $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
• P(Át Cơ) = $\frac{1}{52}$

2.3 Tính chất cơ bản

3. Quy tắc cộng (Addition Rule)

3.1 Biến cố xung khắc (Mutually Exclusive)

Hai biến cố xung khắc nếu không thể xảy ra đồng thời.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Ví dụ: Tung xúc xắc

• A = 2 (số ≤ 2)
• B = 6 (số ≥ 5)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = $\frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4}{6}$

3.2 Biến cố không xung khắc

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Ví dụ: Rút 1 lá bài

• A = Cơ (13 lá)
• B = Hình (K, Q, J) (12 lá)
• A ∩ B = Hình Cơ (3 lá)

$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52}$

3.3 Code Python

1# Tung xúc xắc
2def prob_dice():
3    S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
4    
5    # Events
6    A = {1, 2}  # số ≤ 2
7    B = {5, 6}  # số ≥ 5
8    C = {2, 4, 6}  # số chẵn
9    
10    # Mutually exclusive
11    P_A_or_B = len(A) / len(S) + len(B) / len(S)
12    print(f"P(A ∪ B) mutually exclusive: {P_A_or_B:.4f}")
13    
14    # Not mutually exclusive
15    A_and_C = A & C
16    P_A_or_C = len(A)/len(S) + len(C)/len(S) - len(A_and_C)/len(S)
17    print(f"P(A ∪ C) not mutually exclusive: {P_A_or_C:.4f}")
18
19prob_dice()

4. Quy tắc nhân (Multiplication Rule)

4.1 Biến cố độc lập (Independent Events)

Hai biến cố độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia.

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Ví dụ: Tung đồng xu 2 lần

• P(HH) = P(H) × P(H) = $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

4.2 Biến cố phụ thuộc (Dependent Events)

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$

Ví dụ: Rút 2 lá bài KHÔNG hoàn lại

• P(2 Át liên tiếp) = $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652}$

4.3 Code Python

1# Independent events: Tung đồng xu
2P_H = 0.5
3P_HH = P_H * P_H
4P_HHH = P_H ** 3
5print(f"P(HH) = {P_HH}")
6print(f"P(HHH) = {P_HHH}")
7
8# Dependent events: Rút bài không hoàn lại
9P_first_ace = 4/52
10P_second_ace_given_first = 3/51
11P_two_aces = P_first_ace * P_second_ace_given_first
12print(f"P(2 Aces) = {P_two_aces:.6f}")

5. Xác suất bù (Complement)

5.1 Công thức

$P(A') = 1 - P(A)$

5.2 Ứng dụng: "Ít nhất một"

Bài toán "ít nhất một" thường dùng complement:

$P(\text{ít nhất 1}) = 1 - P(\text{không có cái nào})$

Ví dụ: Tung đồng xu 3 lần, P(ít nhất 1 H)?

$P(\text{ít nhất 1 H}) = 1 - P(\text{không có H}) = 1 - P(TTT) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

5.3 Code Python

1# P(ít nhất 1 Head trong n lần tung)
2def prob_at_least_one_head(n):
3    P_no_head = (1/2) ** n
4    P_at_least_one = 1 - P_no_head
5    return P_at_least_one
6
7for n in [1, 2, 3, 5, 10]:
8    print(f"n={n}: P(≥1 Head) = {prob_at_least_one_head(n):.4f}")

6. Counting Techniques

6.1 Permutation (Hoán vị)

Số cách sắp xếp r phần tử từ n phần tử (có thứ tự):

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Ví dụ: Xếp 3 người vào 3 ghế từ 5 người $P(5, 3) = \frac{5!}{2!} = 60$

6.2 Combination (Tổ hợp)

Số cách chọn r phần tử từ n phần tử (không thứ tự):

$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Ví dụ: Chọn 3 người từ 5 người $C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times 2!} = 10$

6.3 Code Python

1from math import factorial, comb, perm
2
3n, r = 5, 3
4
5# Permutation
6P_nr = perm(n, r)
7print(f"P({n},{r}) = {P_nr}")  # 60
8
9# Combination
10C_nr = comb(n, r)
11print(f"C({n},{r}) = {C_nr}")  # 10
12
13# Ví dụ: Xổ số chọn 6 số từ 45
14lottery = comb(45, 6)
15print(f"Số cách chọn xổ số: {lottery:,}")  # 8,145,060
16print(f"Xác suất trúng: 1/{lottery:,} = {1/lottery:.10f}")

7. Ví dụ tổng hợp

7.1 Bài toán sinh nhật

P(ít nhất 2 người trong n người có cùng ngày sinh)?

Dùng complement: $P(\text{có trùng}) = 1 - P(\text{không ai trùng})$

$P(\text{không trùng}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{365-n+1}{365}$

1def birthday_problem(n):
2    """P(ít nhất 2 người cùng sinh nhật trong n người)"""
3    P_no_match = 1
4    for i in range(n):
5        P_no_match *= (365 - i) / 365
6    return 1 - P_no_match
7
8for n in [10, 23, 30, 50, 70]:
9    print(f"n={n}: P = {birthday_problem(n):.4f}")

Kết quả đáng ngạc nhiên:

• n = 23: P ≈ 50%
• n = 50: P ≈ 97%

7.2 Bài toán Monty Hall

1import random
2
3def monty_hall_simulation(n_trials=10000):
4    """Mô phỏng bài toán Monty Hall"""
5    wins_stay = 0
6    wins_switch = 0
7    
8    for _ in range(n_trials):
9        # Xe ở đằng sau 1 trong 3 cửa
10        car = random.randint(0, 2)
11        # Người chơi chọn 1 cửa
12        choice = random.randint(0, 2)
13        
14        # Strategy: Stay
15        if choice == car:
16            wins_stay += 1
17        # Strategy: Switch (luôn thắng nếu chọn sai ban đầu)
18        else:
19            wins_switch += 1
20    
21    print(f"Stay: {wins_stay/n_trials:.4f}")
22    print(f"Switch: {wins_switch/n_trials:.4f}")
23
24monty_hall_simulation()
25# Stay: ~0.33, Switch: ~0.67

8. Bài tập thực hành

Bài tập 1: Xúc xắc

Tung 2 xúc xắc cân đối:

1. P(tổng = 7)?
2. P(tổng ≥ 10)?
3. P(cả hai số giống nhau)?

Bài tập 2: Bài

Rút 2 lá từ bộ 52 lá (không hoàn lại):

1. P(cả 2 là Át)?
2. P(cả 2 cùng chất)?
3. P(1 đỏ, 1 đen)?

Bài tập 3: Sản phẩm lỗi

Lô hàng có 100 sản phẩm, 5 sản phẩm lỗi. Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm:

1. P(không có lỗi)?
2. P(đúng 1 lỗi)?
3. P(ít nhất 1 lỗi)?

Tóm tắt